Erfahre mehr über das Integral und die Stammfunktion
Das Integral
Ein Integral wird verwende,t um die Fläche unter einer Kurve zu berechnen. Es ist also eine Möglichkeit, die Größe einer Form zu bestimmen, die von einer Kurve begrenzt wird.
Stell dir vor, du hast eine Kurve auf einem Koordinatensystem. Diese Kurve könnte die Bewegung eines Autos, den Verlauf einer Temperaturkurve oder die Entwicklung einer Krankheit im Laufe der Zeit darstellen. Wenn du nun die Fläche unter dieser Kurve berechnen möchtest, um beispielsweise die Distanz, die das Auto zurückgelegt hat, zu ermitteln, kannst du ein Integral verwenden.
Das Integral wird als S-Symbol (ʃ) dargestellt. Um das Integral zu berechnen, musst du die Funktion integrieren, die die Kurve beschreibt, indem du sie in kleinere Teile zerlegst und die Fläche jedes Teils berechnest. Dann addierst du alle diese Flächen, um die gesamte Fläche unter der Kurve zu erhalten.
Integrale können verwendet werden, um Flächen, Volumina, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen zu berechnen.
Die Stammfunktion
Die Stammfunktion hängt eng mit dem Integral zusammen. Eine Stammfunktion ist die umgekehrte Funktion der Ableitung einer Funktion. Mit anderen Worten: Wenn du eine Funktion ableitest, erhältst du eine neue Funktion, die beschreibt, wie sich die erste Funktion verändert. Wenn du jedoch die Ableitung umkehrst, erhältst du die ursprüngliche Funktion zurück.
Die Stammfunktion ist somit der umgekehrte Prozess der Ableitung. Wenn du eine Funktion ableiten möchtest, findest du die Ableitung, indem du die Veränderungsrate der Funktion an jedem Punkt ermittelst. Wenn du jedoch eine Stammfunktion finden möchtest, musst du eine Funktion finden, die die Veränderungsrate der ursprünglichen Funktion beschreibt.
Die Stammfunktion wird durch das Integral berechnet. Wenn du eine Funktion f(x) hast, kannst du die Stammfunktion F(x) finden, indem du das Integral von f(x) integrierst. In anderen Worten: F(x) = ʃf(x)dx. Beachte hierbei, dass F(x) eine Familie von Funktionen ist, da jede Funktion, die von F(x) um eine Konstante C abweicht, auch eine gültige Stammfunktion von f(x) ist. Stammfunktionen sind nützlich, weil sie es uns ermöglichen, die Fläche unter einer Kurve zu berechnen, ohne die ursprüngliche Funktion neu aufzustellen. Wenn wir eine Stammfunktion von f(x) gefunden haben, können wir sie verwenden, um das Integral von f(x) für verschiedene Werte von x zu berechnen.
Berechne das Integral und die Stammfunktion an einigen Beispielen um deine Fähigkeiten zu festigen.