Exponentialfunktionen haben eine besondere Form, bei der eine Zahl, die Basis genannt wird, mit einer anderen Zahl, dem Exponenten, multipliziert wird.
Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion ist f(x) = ax, wobei a die Basis und x der Exponent oder die unabhängige Variable ist. Der Exponent x bestimmt den Wert der Funktion f(x). Exponentialfunktionen können auch in der Form f(x) = abx geschrieben werden, wobei a der Anfangswert der Funktion und b der Wachstumsfaktor ist.
Exponentialfunktionen können exponentiell wachsen oder abnehmen. Wenn die Basis a größer als 1 ist, wird die Funktion exponentiell wachsen, wenn der Exponent x ansteigt. Wenn a zwischen 0 und 1 liegt, nimmt die Funktion exponentiell ab, wenn der Exponent x ansteigt.
Eine markante Eigenschaft von Exponentialfunktionen ist ihr asymptotisches Verhalten. Die Funktion nähert sich einer horizontalen Geraden an, ohne sie jemals zu erreichen. Wenn a größer als 1 ist, nähert sich die Funktion der x-Achse an, während sie sich der y-Achse annähert, wenn a zwischen 0 und 1 liegt.
Du kannst Exponentialfunktionen auch am Schnittpunkt mit der y-Achse. Der Schnittpunkt einer Exponentialfunktion mit der y-Achse ist immer (0,1), da die Basis a0 immer gleich 1 ist.
Exponentialfunktionen können Wachstum und Zerfall gut modellieren, da diese exponentiell zunehmen oder abnehmen. Typische Anwendungsaufgaben, die dir begegnen werden beziehen sich oft auch auf die Zinseszinsrechnung und die Modellierung von Halbwertszeiten bei radioaktivem Zerfall.
Die Ableitung und die Aufleitung der Exponentialfunktion lauten wie folgt:
Die Ableitung der Exponentialfunktion f(x) = ex ist gleich der Funktion selbst, also f'(x) = ex.
Die Aufleitung der Exponentialfunktion f(x) = ex ist auch die Funktion selbst, also ∫ ex dx = ex + c, wobei c eine Konstante der Integration ist.
Zudem gibt es einige Rechenregeln, die du im Zusammenhang mit der Exponentialfunktion kennen solltest.
Potenzregel: e(a+b) = ea ⋅ eb. Das bedeutet, dass die Exponentialfunktion die Potenzgesetze erfüllt und dass die Exponentialfunktion von der Summe zweier Zahlen gleich dem Produkt der Exponentialfunktionen der beiden Zahlen ist.
Produktregel: e(a+b) = ea ⋅ eb. Das bedeutet, dass das Produkt zweier Exponentialfunktionen mit der gleichen Basis gleich der Exponentialfunktion mit der Basis und der Summe der Exponenten ist.
Quotientenregel: e(a-b) = ea : eb. Diese Regel besagt, dass der Quotient zweier Exponentialfunktionen mit der gleichen Basis gleich der Exponentialfunktion mit der Basis und der Differenz der Exponenten ist.
Potenz von e mit negativem Exponenten: e(-a) = 1 / ea. Diese Regel sagt aus, dass die Exponentialfunktion mit negativem Exponenten gleich dem Kehrwert der Exponentialfunktion mit positivem Exponenten ist.