Möchtest du prüfen, ob du wichtige Zusammenhänge zu Funktionen verstanden hast? Wir stellen dir hier einige essenzielle Kenntnisse vor, die du für das Mathematik-Abitur wissen musst.
Koordinaten von Punkten, die auf einem Graphen liegen, müssen dessen Funktionsgleichung erfüllen.
Es ist wichtig, dass du dir diesen Zusammenhang verinnerlichst. Kennst du genügend Punkte, kannst du daraus eine Funktiongleichung entwickeln. Gleichzeitig kannst du mit einer Funktionsgleichung unendlich viele Punkte generieren und dadurch den Graphen der Funktion zeichnen.
Wenn zwei Geraden senkrecht aufeinander stehen, so ergibt das Produkt ihrer Steigungen immer -1. Dieses Verhältnis ist insbesondere bei der Bestimmung von Tangenten an Kurven von Bedeutung.
Bei der Bildung der Umkehrfunktion einer Funktion werden die x- und y-Werte vertauscht.
Dadurch vertauschen sich auch Definitions- und Wertbereich. Eine Funktion ist dann umkehrbar, wenn sie in ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend oder fallend ist. Wäre dies nicht der Fall, dann hättest du nach dem Umkehren für einen x-Wert mehrere y-Werte. Dies würde der Natur von Funktionen widersprechen.
Die Graphen von Polynomfunktionen können unterschiedlich aussehen, je nach Grad und Koeffizienten.
Parabeln haben beispielsweise die Form f(x) = ax² + bx + c und können durch Änderung des Koeffizienten a enger oder weiter werden. Die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms hängt vom Grad ab. Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen.
Ein wichtiger Ableitungssatz ist die Kettenregel.
Sie besagt, dass die Ableitung der Verkettung zweier Funktionen das Produkt aus der Ableitung der äußeren Funktion und der Ableitung der inneren Funktion ist. Zum Beispiel hat die Funktion f(x) = sin(x²) die Ableitung f'(x) = cos(x²) ⋅ 2x. Hierbei handelt es sich um eine Verkettung von Sinusfunktion und Quadratfunktion.
Eine weitere wichtige Regel ist die Produktregel.
Sie besagt, dass die Ableitung des Produkts zweier Funktionen das Produkt aus der Ableitung der ersten Funktion und der zweiten Funktion plus dem Produkt aus der ersten Funktion und der Ableitung der zweiten Funktion ist. Zum Beispiel hat die Funktion f(x) = x² ⋅ cos(x) die Ableitung f'(x) = 2x ⋅ cos(x) – x² ⋅ sin(x). Hierbei handelt es sich um das Produkt aus der Quadratfunktion und der Kosinusfunktion.